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又到四年一度的世界盃大赛,相信大家都看得兴起,为了看球赛而彻夜未眠的大有人在。但原来世界盃对战都牵涉到一些有趣的数学原理。大家知不知道今届世界盃共有多少场对赛?

为了讨论这个问题,我们可以先谈一下循环赛,再谈淘汰赛的计法。

世界盃的32强採用循环赛的赛制,把球队分成8组,每组4队,每一队球队都需要与小组中的所有球队对赛。我们不难数到每组需要对战6场,但如果每组的球队更多呢?那又该如何计算?

先假设有n队球队进行循环赛,它们都必须与自己之外的球队进行比赛,共有n-1队,大家可能直觉上就觉得共需进行n×(n−1)场比赛。但要留意,这样计算的话有一半赛事是重複了的,因为「西班牙对葡萄牙」与「葡萄牙对西班牙」,或者「英格兰对比利时」与「比利时对英格兰」是同一场赛事,如果用n×(n−1)的方法计算就会多计了一倍。

正确的比赛次数应该是n×(n−1)÷2。所以如果每组4队,对赛次数是4×3÷2=6。如果全部32队都用循环赛方法对战,比赛数量就是32×31÷2=496。

世界盃的数学:决赛週需要多少场比赛?

如果大家熟悉排列组合的话,对赛次数等如从n样物件中取出2样物件的组合(combination)数量,即nC2 = n×(n−1)÷2。

接着我们再讨论一下淘汰赛数量的计算方法。

如果有2k支球队作淘汰赛,大家很自然会想:首轮赛事共有2k-1场,次轮赛事共有2k-2场... 四强赛事有2场,决赛共有1场。所以赛事次数等如2k-1 + 2k-2 + ... + 2 + 1 = 2k - 1。 但如果球队的数量不是以2k的形式呢?那又该如何计算?我们需不需要慢慢考虑各种不同的对赛方法的数量呢?

其实是不用的,无论球队数目如何,都可以用一个非常聪明巧妙的方法计算对赛次数︰假如有n队球队对赛,每场淘汰一队,要选出冠军,就要淘汰n - 1队,那幺自然就需要对战n−1场。

总的来说,今届世界盃共有循环赛48场(8个小组、每个小组需4×3÷2=6木场,得出6×8=48)、淘汰赛15场(16队球队中淘汰15队)及季军赛一场,共64场。

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